Consigne: Soit \(\mathcal R=(O,\vec u,\vec v)\) un repère orthogonal
L'interval maximal d'injectivité \(I=[\theta_{min},\theta_{max}[\) est \(I=[0,2\pi[\)
Soit \(\Gamma\) la courbe géométrique de \(\gamma\lvert_I\)
On note \(r_1=\lVert\vec u\rVert\) et \(r_2=\lVert\vec v\rVert\)
Montrer les inégalités $$2\pi\frac{r_1+r_2}{2}\leqslant\lvert\Gamma\rvert\leqslant\sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2}2}$$
Définition de \(\lvert\Gamma\rvert\) On a $$\lvert \Gamma\rvert=\int^{2\pi}_0\underbrace{\sqrt{r_1^2\sin^2(\theta)+r^2_2\cos^2(\theta)}}_{\lVert\gamma^\prime\rVert}\,d\theta$$
Majorer via la concavité de \(\sqrt\cdot\) \(\to\) bouger les constantes $$\begin{align}&\geqslant\int^{2\pi}_0\left(\sqrt{r_1^2}\sin^2(\theta)+\sqrt{r_2^2}(1-\sin^2(\theta))\right)\,d\theta\quad\text{ car }\; \sqrt{\cdot}\text{ est convave}\\ &\geqslant r_1\int^{2\pi}_0\sin^2(\theta)\,d\theta+r_2\int^{2\pi}_0\cos^2(\theta)\,d\theta\end{align}$$
Résoudre via les formules de linéarisation $$=\pi(r_1+r_2)\quad\text{ car }\;\cos^2(\theta)=\frac{1+\cos(2\theta)}2\quad\text{ et }\quad\sin^2(\theta)=\frac{1-\cos(2\theta)}2$$
De plus, \(\lvert\Gamma\rvert\) a deux définitions \(\to\) go faire la moyenne De plus, $$\begin{align}\lvert\Gamma\rvert&=\int^{2\pi}_0\sqrt{r^2_1\sin^2\theta+r_2^2\cos^2\theta}\,d\theta\\ &=\int^{2\pi}_0\sqrt{r^2_1\cos^2\theta+r^2_2\sin^2\theta}\,d\theta\\ &=\frac12\int^{2\pi}_0\left(\sqrt{r^2_1\sin^2\theta+r_2^2\cos^2\theta}+\sqrt{r^2_1\cos^2\theta+r^2_2\sin^2\theta}\right)\,d\theta\end{align}$$
Majorer via concavité de \(\sqrt\cdot\) \(\to\) intégrale d'une fonction constante
$$\begin{align}&\leqslant\int^{2\pi}_0\sqrt{r_1^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+r^2_2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\over2}\,d\theta\\ &=2\pi\sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2}2}\end{align}$$
(Formules de linéarisation )